我有特殊的求前缀和技巧(Gosper算法)

关于如何证明(e^x)'=e^x

YYY posted @ 2017年9月25日 23:34 in 科普扫盲 with tags 导数 数学题 , 344 阅读
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这个问题感觉所有人应该都知道怎么做吧_(:з」∠)_ 
不过姑且还是写一下吧...
这个证法是跟韩雨龙同学讨论出来的。
 
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首先$e$的定义:$e=\lim_{x \to \infty}(1+{1 \over x})^x$
定义$\ln(x)= {\lg(x) \over \lg(e)}$
我们用${1 \over x}$替换$x$:
$e=\lim_{x \to 0}(1+x)^{1 \over x}$
两边取$\ln$:
$\lim_{x \to 0}{\ln(x + 1)\over x} = 1$
令$y = \ln(x+1)$
那么有:$x = e^y-1$且$x \to 0$时$y \to 0$
那么就有:$\lim_{y \to 0}{y\over e^y-1} = 1$
倒一下:$\lim_{y \to 0}{e^y-1\over y} = 1$
 
现在考虑$(e^x)'$
有:$(e^x)' = \lim_{d \to 0}{e^{(x+d)}-e^x \over d}$
$= (e^x)\lim_{d \to 0}{e^d-1 \over d}$
$= e^x$
证完了。
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LOL

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